Was ist der Unterschied zwischen konvexen, konkaven und nicht konvexen Funktionen?


Antwort 1:

Konvexe Funktionen sind aufgrund einer großen Liste von Optimierungseigenschaften hauptsächlich in der Betriebsforschung enthalten. Es gibt viele verschiedene verwendbare Definitionen von konvexen Funktionen, aber ich werde die meiner Meinung nach standardmäßigste Definition verwenden (im eindimensionalen Fall).

Eine Funktion

f:SRf: S \to \R

wo

SS

ist eine konvexe Teilmenge von

R\R

befriedigend

\begin{equation*} f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\end{equation*}

für jeden

x,ySx,y \in S

andλ[0,1]. and \lambda \in [0,1].

Grundsätzlich ist eine konvexe Funktion eine Funktion, bei der jedes Liniensegment, das zwei Punkte im Diagramm verbindet, über dem Diagramm selbst liegt. Die geometrische Intuition ist ziemlich normal. In der High School wurde uns (mir wurde beigebracht), dass eine konvexe Funktion Wasser in dem Sinne „halten“ kann, dass das Wasser nicht herausrinnen würde, wenn Sie Wasser auf die Grafik gießen.

Nun, das ist nicht ganz richtig. In der High School wurde mir dies für konkave Grafiken beigebracht, ein Satz, den ich bis heute nicht ausstehen kann. Historisch gesehen bin ich mir nicht sicher, ob Konkavität oder Konvexität zuerst eine wichtigere Rolle spielten, aber ich wäre bereit, auf Konvexität zu setzen. Davon abgesehen habe ich keine irdische Ahnung, warum sich der AP-Kalkül vollständig von den beiden Begriffen befreit und die Konvexität als konkav neu definiert. In jedem Fall ist eine Funktion konkav, wenn die obige umgekehrte Ungleichung gilt, dh wenn ihre Negation konvex ist.

Wenn Sie mit der Frage fortfahren, sind nicht konvexe Funktionen, wie Sie sich vorstellen können, jede Funktion, die die obige Ungleichung an einigen Punkten nicht erfüllt. Es muss nicht konkav sein. Die Funktion

f(x)=x3f(x) = x^3

Über

R\R

ist weder konkav noch konvex.

Konvexe Funktionen sind im Wesentlichen der Rumpf der Optimierungstheorie. Wenn Sie versuchen, eine konvexe Funktion unter bestimmten Bedingungen zu minimieren, gibt es zahlreiche Möglichkeiten, dies zu tun. Wenn Sie versuchen, eine nicht konvexe Funktion zu minimieren, viel Glück.