Was ist der Unterschied zwischen Boolescher Algebra und Logik und Mengenlehre?


Antwort 1:

Logik ist eine Formulierung von Inferenzregeln. Der wichtigste Teil der Logik ist die Fähigkeit, Informationen aufzunehmen und daraus andere Informationen abzuleiten. Ein gutes Beispiel wären die beiden Aussagen „Wenn es regnet, wird der Boden feuchter“ und „Es regnet gerade“ bedeutet, dass Sie schließen können, dass der Boden jetzt feuchter wird.

Es gibt verschiedene Logikformen, und Boolesche Logik und Mengenlehre sind zwei Beispiele.

Boolesche Logik ist eine Implementierung der klassischen Logik, vorausgesetzt, es gibt 2 Werte. Es führt das Konzept der Wahrheit als etwas ein, das vergleichsweise größer als falsch ist. Mit anderen Worten, wenn "wahr" T ist und "falsch" F ist, dann

TFT \geq F

. Dann können wir die Aussagen von vorher analysieren:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

Diese letzte Aussage:

pqp \to q

ist gleichbedeutend mit der Behauptung, dass

pqp \geq q

oder in Bezug darauf, dass q mindestens so wahr ist wie p.

Zusammengenommen, wissend, dass beides

pqp \to q

und

pp

dann wissen wir es

qq

.

Wir führen Konzepte wie:

  • pqp \wedge q
  • bedeutet "p UND q"
  • pqp \vee q
  • bedeutet "p OR q"
  • ¬p\neg p
  • bedeutet "NICHT p"

Die Mengenlehre geht die Wahrheit anders an. Es ist an einer Mitgliedschaft interessiert. Entweder ist etwas Mitglied eines Sets oder nicht.

In dieser Hinsicht haben wir die Einbeziehung festgelegt, das heißt

ABA \subseteq B

bedeutet, dass jedes Element von A in B enthalten ist (aber nicht unbedingt umgekehrt). In umgekehrter Richtung angegeben:

ABA \supseteq B

bedeutet, dass jedes Element in B in A enthalten ist (aber nicht unbedingt umgekehrt).

Dies dient der Rolle der Implikation in dieser Logik. Wenn ich das weiß

A\superseteqBA \superseteq B

und dass alle meine Elemente sind

AA

, dann sind auch alle meine Elemente

BB

.

Wir bezeichnen, dass ein Element ein Mitglied einer Menge ist, indem wir das sagen

aAa \in A

bedeutet, dass "a ein Mitglied der Menge von A ist".

Ein Beispiel wären alle Menschen

AA

sind auch Sterbliche

BB

. Dann, wenn Sokrates ein Mensch ist (

sAs\in A

), dann ist er auch ein Sterblicher (

sB).s\in B).

Ebenso haben wir Konzepte wie:

  • ABA \cup B
  • bedeutet die Menge aller Elemente, die sich sowohl in A als auch in B befinden (Schnittpunkt)
  • ABA \cap B
  • bedeutet die Menge aller Elemente, die entweder in A oder B oder in beiden sind (Vereinigung)
  • Aˉ\bar{A}
  • bedeutet die Menge aller Elemente, die nicht in A sind (Komplement)

Die Boolesche Algebra wird technisch als komplementäres Verteilungsgitter bezeichnet, was für alles, was Folgendes hat, ein ausgefallenes Gespräch ist.

  • min(A,B)\min(A, B)
  • ein kleinster Wert (technisch infimum) zwischen A und B. Dies ist "UND" in der Booleschen Logik und der Schnittpunkt in der Mengenlehre.
  • max(A,B)\max(A, B)
  • ein größter Wert (technisch überragend) zwischen A und B. Dies ist "ODER" in der Booleschen Logik und Vereinigung in der Mengenlehre. Dies ist in der Booleschen Logik „NICHT“ und in der Mengenlehre eine Ergänzung.

Natürlich erfordert diese Algebra, dass die Operationen bestimmte Eigenschaften annehmen, um als Boolesche Algebra bezeichnet zu werden.

In dieser Hinsicht beschreibt das Wort Algebra etwas, das sowohl additionsähnliche als auch multiplikationsähnliche Eigenschaften hat. Eine Boolesche Algebra nimmt das und fährt damit fort.

Boolesche Algebren sind auch Heyting-Algebren, wenn wir das wissen

¬¬a=a\neg \neg a = a

, weil sie eine Vorstellung von einem Exponential haben, das zufällig gemäß der Multiplikation definiert wird. In der Booleschen Logik ist dies die Implikation. In der Mengenlehre ist dies die (nicht strenge) Obermenge.

Dies bedeutet, dass wir das folgende Gesetz haben:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

Welches ist ähnlich wie Potenzierung:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


Antwort 2:

Boolesche Algebra ist eine Gruppierung von Regeln über Dinge, die entweder wahr oder falsch sein können (benannt nach dem Typ, der sie formalisiert hat).

Bei Logik geht es im Wesentlichen um Argumentation. Als eigenes Feld wird darüber nachgedacht, worüber und wie begründet werden kann. Zu diesem Zeitpunkt gibt es viele Zweige davon.

Wenn die Mengenlehre so formuliert ist (im Gegensatz zu „einer Mengenlehre“, die viele Dinge bedeuten kann), wird sie normalerweise als Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verstanden, zusammen mit möglicherweise zusätzlichen Axiomen. Dies ist eine Möglichkeit, über ungeordnete Sammlungen (sogenannte Mengen) mit einer kleinen Anzahl von Axiomen zu argumentieren und sie um Dinge zu erweitern, wie beispielsweise, welche verschiedenen Arten von Zahlen auf diesen Axiomen basieren.