Was ist der Unterschied zwischen einer kompakten und einer begrenzten Menge?


Antwort 1:

Alle begrenzten Mengen sind nicht kompakt. Aber alle kompakten Sets sind begrenzt. Betrachtet man zunächst die Definition des kompakten Raums, so hat jede offene Abdeckung eines kompakten Satzes eine begrenzte Teilabdeckung. Wenn wir eine begrenzte Menge betrachten (0,2], ist sie begrenzt, aber nicht kompakt. Eine Menge, die am nächsten und begrenzt ist, dann muss sie nach Heine-Borel-Theorm kompakt sein. Jede Kompakte ist geschlossen und begrenzt. Aber umgekehrt ist es nicht immer wahr.