Was ist der Unterschied zwischen einer Sammlung und einem Set?


Antwort 1:

Die von Cantor initiierte Mengenlehre wurde als Sammlungstheorie angesehen. Er "definierte" eine Menge als Ganzes verschiedener Objekte, wenn auch nur aus unseren formalen Gedanken. Das heißt, der Ausgangspunkt war die Analogie von Mengen mit Sammlungen von Dingen aus unserer Umgebung oder unserer Vorstellungskraft. Aber die Mathematik hat sich weiterentwickelt. Der abstrakte Begriff ist entstanden, und aus formaler Sicht spricht die Mengenlehre von nichts. Wir können eine Mengenlehre entwickeln, ohne das Wort „Menge“ zu erwähnen. Der eigentliche Begriff der Grundeinheit ergibt sich aus der Interpretation der Theorie. Aber OK, stellen wir uns vor, es soll von Sets gesprochen werden. Sind Sets Sammlungen? Unmöglich zu antworten. Der Begriff der Menge ergibt sich aus den Axiomen, die wir verwenden. In der ZFC-Mengenlehre, die als konsistent angenommen wird, gibt es also keine universelle Menge, aber sie existiert in der Quine-Rosser-NF-Mengenlehre. Mengen sind die Dinge, die durch die von Ihnen verwendeten Axiome gegeben sind, und es ergibt sich, dass der Begriff der Menge relativ zur betrachteten Theorie wird. Etwas mag in einer Theorie festgelegt sein, in anderen jedoch nicht. "Sammlung" ist, soweit ich mir vorstellen kann, ein informelles Wort für Aggregat oder Menge von Dingen, Standard-Dingen wie Kieselsteinen und Katzen, die natürlich durch Mengen dargestellt werden können, aber nichts mit abstrakter Mathematik zu tun haben.