Was ist der Unterschied zwischen einer begrenzten und einer geschlossenen Menge?


Antwort 1:

Eine begrenzte Menge wird definiert, wenn Sie feststellen können, ob sie begrenzt ist oder nicht. Normalerweise bedeutet dies, dass Sie eine Möglichkeit benötigen, den Abstand zwischen zwei Dingen in einem Satz zu bestimmen. Dies wird als Metrik bezeichnet. Sobald Sie das haben, ist eine begrenzte Menge eine Menge, bei der jedes Element höchstens einen endlichen Abstand voneinander hat und daher begrenzt ist.

Ein geschlossener Satz hat eine ziemlich banale Definition; dass seine Ergänzung offen ist. In Hausdorff-Räumen gewinnt es jedoch eine interessante Eigenschaft. Wenn Sie eine konvergierende Folge von Elementen in einem geschlossenen Satz haben, wird dieser niemals aus dem Satz „auslaufen“. Technisch konvergiert die Sequenz zu einem Element in der geschlossenen Menge.

Wenn Sie nicht ganz verstehen, was Hausdorff-Räume sind, nehmen Sie einfach an, dass jedes mögliche Beispiel für einen Raum, den Sie sich vorstellen können, Hausdorff ist.


Antwort 2:

Eine Menge wird geschlossen, wenn die Menge alle ihre Grenzpunkte enthält (der Abschluss der Menge entspricht der Menge). Es gibt auch einige andere Definitionen für geschlossen. (siehe Quelle)

Eine Menge ist begrenzt, wenn der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten in der Menge kleiner als eine endliche Konstante ist. Eine Menge in R ^ n ist begrenzt, wenn alle Punkte in einer Scheibe mit endlichem Radius enthalten sind.