Was ist der Unterschied zwischen einem Linienintegral über eine Skalarfunktion und einer Vektorfunktion?


Antwort 1:

Das Linienintegral einer Skalarfunktion gibt den Bereich eines „Vorhangs“ an, der von der Funktion über den Pfad hängt. Das Linienintegral einer Vektorfunktion kann auf verschiedene Arten betrachtet werden. Wenn beispielsweise die Vektorfunktion eine Kraft darstellt, gibt das Linienintegral durch einen Pfad in diesem Feld die Arbeit an, die das Feld auf einem Partikel leistet, das sich entlang dieses Pfades bewegt. Wenn das Vektorfeld ein elektrisches Feld darstellt, gibt das Linienintegral die Änderung des elektrischen Potentials entlang dieses Pfades an.


Antwort 2:

Wenn B eine Vektorfunktion ist, ist das Linienintegral von Punkt P zu Punkt Q gegeben durch

Integral von P nach Q von B.dl.

Hier ist der Pfad, entlang dessen sich das Linienintegral befindet, in infinitesimale kleine Linienelemente dl unterteilt.

Hier ist B.dl das Skalarprodukt von B mit dl.

Da bei der Definition des Linienintegrals ein Punktprodukt auftritt, ist es nicht möglich, ein Linienintegral für das Skalarfeld zu definieren.