Der Unterschied zwischen einer zweistelligen Zahl und der durch Umkehren der Ziffern erhaltenen Zahl beträgt 45. Was ist der Unterschied zwischen den beiden Ziffern dieser Zahl?
Antwort 1:
X und y seien die zwei Ziffern einer zweistelligen Zahl.
Angenommen, x steht an der zehnten Stelle und y an der Stelle der Einheit. Die gebildete Zahl ist also 10x + y und die Umkehrung dieser Zahl ist 10y + x.
Der Unterschied zwischen der Zahl und der Umkehrung ist 45. So ,
10x + y - (10y + x) = 45
10x + y - 10y - x = 45
9x - 9y = 45
x - y = 5
Der Unterschied zwischen zwei Ziffern dieser Zahl beträgt also 5
Antwort 2:
Antwort: 5
Lösung:
Die zweistellige Zahl sei mit pq bezeichnet. Da q an der Stelle der Einheit und p an der Stelle der Zehn steht, ist in dem Dezimalsystem, in dem die Basis 10 ist,
Der Wert von pq = 10¹. p + 10⁰ .q = 10p + q ……………………………………. ……. (1)
Nach dem Umkehren der Ziffern pq → qp und mit demselben Argument wie oben
Der Wert der umgekehrten Zahl qp = 10q + p ………………………………. …… (2)
Nach der Hypothese ist der Unterschied zwischen pq und qp = 45.
∴ aus (1) und (2)
10p + q - (10q + p) = 45 oder 10p + q - 10q - p = 45
Oder 10p - p + q - 10q = 45
Oder 9p - 9q = 45 Teile beide Seiten durch 9,
9p / 9 - 9q / 9 = 45/9 = 5,9 / 9
⇒ p -q = 5
∴ Die Differenz zwischen den beiden Ziffern der Zahl = 5 (Bewiesen)