Wahrscheinlichkeit (Statistik): Was ist der Unterschied zwischen Binominal-, Poisson- und Normalverteilung?


Antwort 1:

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung mit zwei Parametern, nämlich. Stichprobengröße (n) und Erfolgswahrscheinlichkeit (p).

Die Poisson-Verteilung ist auch eine diskrete Verteilung mit einem Parameter (np), wobei n sehr groß und p sehr klein ist. Es hat die eigentümliche Eigenschaft, dass seine Mean = Varianz = np

Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung. Es hat die Form einer glockenförmigen Kurve.


Antwort 2:

Für den Anfang sind die Binomial- und Poisson-Verteilungen diskrete Verteilungen, die nur für (einige) ganze Zahlen Wahrscheinlichkeiten ungleich Null ergeben. Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung. Jede normale Dichte ist für alle reellen Zahlen ungleich Null.

Binomialverteilungen sind nützlich, um Ereignisse zu modellieren, die in einem Binomialversuch auftreten. Beispiele sind, wie viele Münzwürfe Köpfe zeigen, wie viele Rubbel-Lottoscheine Gewinner sind, wie viele Patienten eines Arztes während der Operation sterben und wie viele Freiwürfe ich in hundert Versuchen mache. Wichtige Bestandteile eines solchen Experiments sind:

  • Afixednumberofrepeated,identical,independenttrials.nisusuallytheparameterchosentolabelthenumberoftrials.Everytrialresultsineitherasuccess,withprobability[math]p[/math],orafailure,withprobability[math]1p[/math].Thesemustbetheonlytwopossibleoutcomesforatrial.Therandomvariableofinterestisthetotalnumberoftrialsthatendedinasuccess.A fixed number of repeated, identical, independent trials. n is usually the parameter chosen to label the number of trials.Every trial results in either a success, with probability [math]p[/math], or a failure, with probability [math]1-p[/math]. These must be the only two possible outcomes for a trial.The random variable of interest is the total number of trials that ended in a success.

Theprobabilitymassfunctionforthebinomialdistributionisgivenby:p(x)=(nx)px(1p)nxfor[math]x=0,1,2,,n[/math]The probability mass function for the binomial distribution is given by:p(x) = \binom n x p^x (1-p)^{n-x} for [math]x=0,1,2,\ldots, n[/math]

Poisson-Verteilungen sind nützlich, um Ereignisse zu modellieren, die scheinbar immer wieder auf völlig zufällige Weise stattfinden. Wie viele Erdbeben der Stärke 8+ werden zum Beispiel in einem bestimmten Jahr stattfinden? Oder wie viele Babys werden an einem bestimmten Tag in einem großen Krankenhaus geboren? Oder wie viele Zugriffe erhält eine Website in einer bestimmten Minute? Wichtige Annahmen für das Poisson-Modell sind:

  • Therandomvariablecountsthenumberofeventsthattakeplaceinagiveninterval(usuallyoftimeorspace).Alleventstakeplaceindependentlyofallotherevents.Therateatwhicheventstakeplaceisconstantusuallydenotedλ.The random variable counts the number of events that take place in a given interval (usually of time or space).All events take place independently of all other events.The rate at which events take place is constant usually denoted \lambda.

Theprobabilitymassfunctionforthenumberofeventsthattakeplaceinanytime,t,isgivenby: [math]p(x)=eλt(λt)xx![/math]for[math]x=0,1,2,[/math]The probability mass function for the number of events that take place in anytime, t, is given by: [math]p(x) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}[/math] for [math]x = 0, 1, 2, \ldots[/math]

Normalverteilungen werden verwendet, um viel zu viele verschiedene Arten von Eigenschaften zu modellieren, als dass sie in den Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften, Biowissenschaften, Ingenieurwissenschaften usw. aufgezählt werden könnten. Ein Grund, warum es so oft vorkommt, ist der zentrale Grenzwertsatz. Grundsätzlich zeigen alle Eigenschaften, die als Aggregat vieler kleinerer unabhängiger (oder schwach abhängiger) Mitwirkender auftreten, eine ungefähre Normalverteilung, solange keine kleine Teilmenge dieser Mitwirkenden dominiert.

Theprobabilitydensityfunctionforanormaldistributionwithmeanμandstandarddeviation[math]σ[/math]isgivenby:[math]f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2[/math]forall[math]xR[/math].The probability density function for a normal distribution with mean \mu and standard deviation [math]\sigma[/math] is given by:[math]f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}[/math] for all [math]x\in \mathbb R[/math].