Ist ein Vektorraum derselbe wie ein Vektorfeld? Wenn nicht, was ist der Unterschied zwischen ihnen?


Antwort 1:

Nein.

AvectorspaceoverafieldFisaset[math]V[/math],togetherwithtwooperations,commonlyknownasvectoraddition(whichtakestwoelementsof[math]V[/math]andoutputsanotherelementof[math]V[/math])andscalarmultiplication(whichtakesanelementof[math]F[/math]andanelementof[math]V[/math]andoutputsanotherelementof[math]V[/math]),suchthat,if[math]u,v,wV[/math]and[math]a,bF[/math]:A vector space over a field F is a set [math]V[/math], together with two operations, commonly known as vector addition (which takes two elements of [math]V[/math] and outputs another element of [math]V[/math]) and scalar multiplication (which takes an element of [math]F[/math] and an element of [math]V[/math] and outputs another element of [math]V[/math]), such that, if [math]\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}\in V[/math] and [math]a,b\in F[/math]:

  1. u+v=v+u[math]u+(v+w)=(u+v)+w[/math]Thereexistssomevector[math]0[/math]suchthat,forevery[math]v[/math],[math]v+0=v[/math]Foreveryvector[math]v[/math],thereexistssomevector[math]v[/math]suchthat[math]v+(v)=0[/math][math]a(bv)=(ab)v[/math]Foreveryvector[math]v[/math],[math]1Fv=v[/math],where[math]1F[/math]isthemultiplicativeidentityin[math]F[/math][math]a(u+v)=au+av[/math][math](a+b)v=av+bv[/math]\textbf{u}+\textbf{v} = \textbf{v}+\textbf{u}[math]\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) = (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}[/math]There exists some vector [math]\textbf{0}[/math] such that, for every [math]\textbf{v}[/math], [math]\textbf{v}+\textbf{0} = \textbf{v}[/math]For every vector [math]\textbf{v}[/math], there exists some vector [math]-\textbf{v}[/math] such that [math]\textbf{v}+(-\textbf{v}) = \textbf{0}[/math][math]a(b\textbf{v}) = (ab)\textbf{v}[/math]For every vector [math]\textbf{v}[/math], [math]1_F\textbf{v} = \textbf{v}[/math], where [math]1_F[/math] is the multiplicative identity in [math]F[/math][math]a(\textbf{u}+\textbf{v}) = a\textbf{u}+a\textbf{v}[/math][math](a+b)\textbf{v} = a\textbf{v}+b\textbf{v}[/math]

Avectorfieldisafunctionthattakespointsinsomemanifoldasinputsandreturnstangentvectorstothemanifoldasoutputs.Alotofthetime,themanifoldwillbeRn,butitdoesnthavetobe.Itcanbeanyarbitrarymanifold.(Initially,Ihadsaidthatavectorfieldwasamapbetweenvectorspaces,but,aspointedoutbyRuskoRuskov,thisisnotcorrect.)A vector field is a function that takes points in some manifold as inputs and returns tangent vectors to the manifold as outputs. A lot of the time, the manifold will be \mathbb{R}^n, but it doesn’t have to be. It can be any arbitrary manifold. (Initially, I had said that a vector field was a map between vector spaces, but, as pointed out by Rusko Ruskov, this is not correct.)


Antwort 2:

Der Vektorraum besteht aus Objekten, die sich wie Vektoren verhalten. Ähnlich wie im Veranstaltungsraum - eine Reihe von Ereignissen, die passieren können.

Das Vektorfeld ähnelt eher einer Funktion von einem Vektorraum zu einem anderen Vektorraum.

In der Regel ist ein Vektorfeld auch differenzierbar oder stetig. Wofür eine zusätzliche Struktur erforderlich wäre, um zu definieren, was abgeleitet und was mit kontinuierlich gemeint ist.